副标题
行列式的绝对值是体积
也可以作为线性变换的放大率，或者说线性变换的伸缩因子
矩阵的行列式就是向量的外积在高维空间上的直接推广
作者：匿名用户
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关于行列式，我知道三种等价定义：
一是用排列和逆序数定义（国内大多数教材上都用这种定义）；
二是用归一化（单位矩阵行列式为1）、多线性（当矩阵的某一列所有元素都扩大c倍时，相应行列式也扩大c倍。多的意思是对所有n个列都呈现线性性质）、反对称（交换两列行列式反号）来定义；
三是利用代数余子式和按第一行展开进行归纳定义；
我最喜欢的是第二个定义。行列式等于它的各个列对应的向量张成的平行2n面体的体积，这是因为行列式是一个交替多重线性形式，而我们通常理解的欧式空间中的体积也是这样一个函数（单位立方体体积为1，沿某条边扩大c倍体积就扩大c倍，交换两条边以后体积反号——这一条是补充定义的，我们认为体积是有向体积，其数值表示体积大小，正负号表示各条边的排列顺序或坐标轴手性），而满足归一性、多线性、反对称性的函数是唯一的，所以行列式的直观理解就是欧式空间中的有向体积。
用矩阵与线性变换的同构来解释也很好理解，**行列式就是矩阵对应的线性变换对空间的拉伸程度的度量，或者说物体经过变换前后的体积比。**特别地，如果矩阵不是满秩的，意味着一个维的空间变换后被压扁了，变成了其中的一个
维的超平面甚至是维度更低的超直线，所以原来空间中的体积元在变换后体积为0，此时行列式也是0。多元函数积分作变量代换后要乘一个Jacobi行列式就是这个道理，表示变换前后的微元体积比。
在矩阵乘法中的左乘和右乘的区别
左乘的数可以作为是一种基的变化，而右乘可以作为是变换的对象或者是一种逆变换
逆矩阵相当于线性变换中的逆操作
秩代表着线性变换后空间的维数，更加精确的秩的定义是列空间的维数，秩达到最大值的时候，意味着秩与列数相等，就是满秩
线性代数视频学习记录
- 左乘意味着对右边进行一个变换
- 矩阵的相乘中的几何意义需要由右边向左边读，这是起源于我们函数的记号，因为我们将函数写在变量左侧
- 矩阵乘积中解的每一列都是和最后边的每一列单独相关的
- 点乘后成为一个数，这是左边的向量在右边的向量下的一个投影，这太奇妙了而且可以通过正负号判断他们是否是to。同向的
- 行列式表示为对于基准的基，他的变换剪切之后的面积或者体积的变化率是多少，如果是0说明被压缩成了0，他把它压缩到了更小的维度
- 行列式的值为负数说明空间的定向发生了改变比如y是在x的左边，那么如果变换后y在x的右边了，那就说明空间的定向发生了改变
- 三维空间代表了体积的缩放比例三维空间就是你用右手表示的三维现在只能用左手表示了，所以就也可以说手性其实是因为行列式为负数
- 每一个从空间到数轴的变换都能找到一个向量，作为该空间到数轴的对称向量