他乡之客

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数理概念学习

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数理概念的分析和理解

势函数（potential function）

势函数又叫位函数（位势函数），在不同的方面有不同的含义，势，英语potential，就是有一种潜力，由一种能量转化为别的能量的潜力，描述这种潜力的函数，应该就是叫势函数。势函数到处可见，凡是涉及到能量描述和转换的地方，都会涉及到势函数，还有生物势、化学势。统计物理里面涉及到很多这方面的知识。

得到了势函数的引入可以减少方程的数目，例如用来描述电磁场问题本来麦克斯韦方程组，该方程组由四个方程组成，且方程中磁场和电场还会相互耦合，求解麻烦。
; 但是，只要合理的引入电场势和磁场矢量，那么四个方程可以简化 为两个方程，并且两个方程分别用来描述电场和磁场，即实现了解耦，这时求解就相对简单了。

在我自己的理解中，他是描述的这个量的积分（从单维度的角度看）的概念，虽然简单，但是确实很实用

空气动力学领域

位函数是在某个方向的偏导数等于速度在那个方向的分量的标量函数。对于无旋流场满足旋度为0的条件：

∂vx∂y=∂vy∂x,∂vy∂z=∂vz∂y,∂vz∂x=∂vx∂z\frac{\partial v_{x}}{\partial y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial x}, \frac{\partial v_{y}}{\partial z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial y}, \frac{\partial v_{z}}{\partial x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial z}

所以vxdx+vydy+vzdzv_{x}dx+v_{y}dy+v_{z}dz​是全微分,另dΦd \Phi代表这个全微分

dΦ=vxdx+vydy+vzdzd \Phi=v_{x} d x+v_{y} d y+v_{z} d z

（全微分是用切平面代替曲面全微分要求所有方向的切线均在一个平面内，因此有函数偏导存在，但是不存在全微分的情况。一元函数用直线代替曲线，则n元函数用平面代替曲面，这个平面称为切平面。全微分需要偏导存在且连续。多元微积分是全微分的一个向量，它的基底为(dx1,dx2,dx3,dxn)的转置(为列向量),记为v，它的系数矩阵就是雅可比矩阵记为J,那么根据定义，全微分df=Jv,利用矩阵乘法展开，就是那一大坨东西）

如何通俗理解全微分

https://www.zhihu.com/question/276136456/answer/385590346

这个Φ=Φ(x,y,z)\Phi=\Phi(x, y, z)称为位函数，位函数在某个方向的偏导数等于速度在那个方向的分量。

流场上A、B两点的Φ\Phi值之差等于沿着一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分得到的数值。该值与积分路线无关。

ΔΦ=0\Delta \Phi=0

位函数

如何理解空气动力学中流函数、位函数及速度位等概念？

所以当我们在看一些等势图的时候，其实我们看的都是积分相同的点连起来的线而已，这些线的宽窄表征速度的变化，就好比一元函数看相同的dxdx的yy值的变化一样

梯度，散度和旋度

物理理解

  • 通量是单位时间内通过的某个曲面的量

  • 散度是通量强度（也叫通量密度）

  • 环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量

  • 旋度是环流量强度，但是是矢量有方向

梯度、散度与微分

∇\nabla向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算子。

ijk是xyz正方向的单位向量

∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk\nabla=\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k}

gradf=∇f=∂f∂xi+∂f∂yj+∂f∂zkgrad f=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}

标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

梯度有点像导数求导微分这些

Δ\Delta和 ∇2\nabla^{2} 和 ∇⋅∇\nabla \cdot \nabla 都是一样的 拉普拉斯算子定义为梯度Δf\Delta f的散度

Δf=∇2f=∇⋅∇f\Delta f=\nabla^{2} f=\nabla \cdot \nabla f

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

divF=∇⋅Fdiv F = \nabla \cdot F

散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度**，**可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。对于水流来说散度相当于看水在何处有源头何处有汇聚，在电磁场中则看是否某处有发射场线或收回场线，目前认为不存在磁单极子，即磁场没有源头或汇聚，所以为无源场。

旋度与叉乘

旋度等于哈密顿算子叉乘向量，二维向量开始，二维的叉乘可以通过力矩的例子很形象：用力臂和力在垂直力臂方向上的分量的乘积表示力矩的大小，以右手定则规定力矩的方向——力矩就是描述关系的算式。

定义一个向量A，在xyz方向上的大小分别是Ax，Ay，Az，旋度如下：

rotA=curlA=∇×A=(∂Az∂y−∂Ay∂z)x^+(∂Ax∂z−∂Az∂x)y^+(∂Ay∂x−∂Ax∂y)z^rot A=curl A=\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\right) \hat{\mathbf{x}}+\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right) \hat{\mathbf{y}}+\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) \hat{\mathbf{z}}

三维的叉乘就是计算三个方向上的“力矩”写到一起（数学上表示为加法）看似花哨的式子其实很有道理，X方向上的“力矩”自然和x方向的“力”Ax无关，所以是Az和Ay。

偏导其实就是导数，但是由于实际上收到三个变量的影响，所以写成偏导

为什么Az的结果要和Ay做差？显然两个方向是等价概念，但是因为设定上Z方向的力和Y方向的力对X方向的旋度贡献相反，所以我们使用右手定则的时候就取Y方向为负。其他方向同理

（原来力矩就是一维的旋度啊，如果以这个点为中心的且以这个点为起点的力的面积分为不为0那么就是有源的，如果以这个点为中心存在垂直与这个点为起点的直线方向的力的积分不为零说明是有旋的这个点是有力矩存在的）

两个向量叉乘表示什么意思_旋度、哈密顿算子、叉乘

rot F 或curl F=∇ × F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，==只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。==对于水流来说旋度相当于看水中是否存在漩涡，在电磁场中则是看电场线或磁感线是否闭合，磁感线是闭合的就是说它是有旋场

基本关系

一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：

∇×(∇f)=0\nabla \times (\nabla f)=0

一个矢量场F的旋度场是无源场，也就是说它的散度处处为零：

∇⋅(∇×F)=0\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0

F的旋度场的旋度场是：

∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−∇2F\nabla\times(\nabla \times \mathbf{F})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{F})-\nabla^{2} \mathbf{F}

亥姆霍兹分解、亥姆霍兹定理或矢量分析基本定理：对于任意足够平滑、快速衰减的三维矢量场可解为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。简单的说就是任何矢量都可以分解为简单的无旋场和无源场之和，即其标量位和矢量位两部分。

u=∇φ+∇×A\mathbf{u}=\nabla \varphi+\nabla \times \mathbf{A}

梯度散度旋度常用基本关系

散度与旋度的关系

散度和旋度是用来表示矢量场分布的，一个场的散度和旋度确定了，那么这个矢量场也就确定了

散度描述的是一种纵向变化率，旋度描述的是一种横向变化率。因此当我们知道一个向量场的初始条件，纵向和横向的变化率时，就可以求得向量场在整个空间的分布。我觉得这可能就是麦克斯韦预测电磁波存在的基础，同理也可以得到弹性波场的分布，这也是地震理论的基础。这些都是散度和旋度在物理学中的应用

若空间实在是有经纬的，那么散度是经线，旋度是纬线。

散度就是将曲面上的场正交投影到几何方向，描述了场与几何在正交曲面的通量；

旋度则是将曲面上的场正交投影到法相方向，描述了场与几何在正交曲面的环量。

相同点在于两个的连续性恰好都保证了积分格林公式高斯定理斯托克斯定理的等价性，散度旋度则是数学上形象的定义。

散度和旋度的物理意义, 其他回答都说得很清楚了: 散度, 就是是否有源. 旋度也正是"描述矢量场中某一点所包含微元在场中的旋转程度".

但这里有一个subtle的地方. 有一个答案这么说:

因为科里奥利力的原因，水从孔流出时，水缸里有漩涡，这是旋度

这其实是不对的. 旋度说的是液体微粒的自转(vorticity).

有一个经典的例子: (下图取自Purcell的Electricity and Magnetism的Figure 2.39和2.40)

img

图中的两个向量场都是无源的, 即散度为零. 但(d)的旋度为零, (e)的旋度不为零. 分析如下:

img

如(d)中的提示所说, 详细的计算表明:

  • 如果一个流体整体绕其中心轴以角速度Ω\mathbf{\Omega}旋转, 则流体速度场的旋度大小处处为2Ω\mathbf{2\Omega}
  • 如果一个流体绕其中心轴旋转, 速度与距中心轴的距离成反比, 则流体速度场的旋度大小处处为零.

散度、旋度都是从梯度而来。

标量场可以有梯度，向量场也可以有梯度。

假设有一标量场u(x,y,z)u(x,y,z)

grad⁡∣u=∂u∂xi⃗+∂u∂yj⃗+∂u∂zk⃗\operatorname{grad} \mid u=\frac{\partial u}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial u}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial u}{\partial z} \vec{k}

同理，对于一向量场xi⃗+Yj⃗+Zk⃗x \vec{i}+Y \vec{j}+Z \vec{k}它的梯度为

=∂(Xi⃗+Yj⃗+Zk⃗)∂xi⃗+∂(Xi⃗+Yj⃗+Zk⃗)∂yj⃗+∂(Xi⃗+Yj⃗+Zk⃗)∂zk⃗\begin{aligned} &=\frac{\partial(X \vec{i}+Y \vec{j}+Z \vec{k})}{\partial x} \vec{i} \\ &+\frac{\partial(X \vec{i}+Y \vec{j}+Z \vec{k})}{\partial y} \vec{j} \\ &+\frac{\partial(X \vec{i}+Y \vec{j}+Z \vec{k})}{\partial z} \vec{k} \end{aligned}

此时，对于右方的单位向量乘法有两种处理方式。

第一种方式，采用点乘，体现它的数量上的性质，得到散度。（所以散度是向量场在数量上的一个梯度）个人理解说白了散度就是一个标量经过矢量求梯度后，又求了一次梯度，类似二重导数

∂X∂x+∂Y∂y+∂Z∂z\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}

第二种方式，采用叉乘，体现它的旋转上的性质，得到旋度

(∂Z∂y−∂Y∂z)i⃗+(∂X∂z−∂Z∂x)j⃗+(∂Y∂x−∂X∂y)k⃗\left(\frac{\partial Z}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial X}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right) \vec{k}

对于向量场，劈形算子要把三个方向矢量（i, j, k）写在导数的前面，然后带入向量场，对于散度（就是向量点积），因为向量点积满足交换律，所以得到的结果是对的；对于旋度（就是向量叉积），向量叉积交换顺序要变号，所以按照您上面的公式计算散度是对的，但是计算旋度是不对的，虽然你后面给的旋度结果是对的，但是根据你给的公式按照矢量叉乘的法则去算所得结果与你后面的结论差一个负号

改变叉乘的先后顺序就行了，应该。i,j,k在前，pqr在后。讲道理解释挺好理解的

梯度是一次偏导的矢量和，代表函数的变化方向与大小。

散度是二次偏导的代数和，代表函数梯度矢量场的发散的强度。

梯度容易理解，可以理解成斜率、切线等等。

直观理解 梯度 与 散度（哈密尔顿算子 gradient，diverse）

梯度就是三维空间的导数，散度就是求有没有点源，旋度就是求有没有漩涡，这是流体力学的理解

散度：单位体积的通量。旋度：单位面积的环量。梯度：单位长度的变量。（这里需要加上单位）

加入通过一个点两侧的通量速率不一样，旋度肯定不为零

叉乘和点乘的物理意义探究

向量之间的乘法有两种，一种点乘一种叉乘

点乘

在力F⃗\vec{F}的作用下由A移动到B点力做的功W=F⃗⋅AD=∣F⃗∣⋅∣AB∣⋅cosϕW=\vec{F}\cdot AD =|\vec{F}|\cdot|AB|\cdot cos\phi

点积中的·不可省略

叉乘

力矩是向量，大小=力乘以力臂，方向平行于轴，指向符合右手法则（螺旋进动方向）

扭矩，是力跟力臂的叉积。角动量，是动量跟距离的叉积。说白了，点积是同一个方向上的积，叉积是垂直方向上的积。

力矩先理解为中学当中的杠杆的力矩，所以力矩的大小是力乘以力臂。关键是力矩的方向，力矩的方向就是杠杆转动时，它的转动轴的方向，那么转动轴还有两个方向，一个朝前，一个朝后，到底是朝哪个方向呢？就是螺旋进动方向。就是假设有有一个螺母在转动轴上，那么你向某一个方向转动（分顺时针和逆时针两个方向）时，那么螺母就会沿着轴的方向前进或后退，这个前进或后退的方向就是力矩的方向（例如顺时针转动前进，那么顺时针就是对应前进方向，逆时针就对应后退方向。反之也一样，即顺时针对应后退，逆时针对应前进，也是可以的。因为顺时针还是逆时针，需要确定观察者从哪个方向看，是从轴的前方看，还是从轴后方看，她是不一样的）。

点积也称作数量积，结果是个数，源于物理牛顿力学的做功问题。

叉乘也称作向量积，结果是个向量，源于物理牛顿力学的力矩问题。当然其结果的模也表示数学中平行四边形的面积。

【直观解释】叉乘与点乘

力矩又是什么

运动分两种一种是平移，一种是旋转，物体受到力矩的作用，就会旋转，力矩=转动惯量×旋转速率。力矩不为零，则必有旋转。

力对物体的作用效应，除移动效应外，还有转动效应。

力又是什么

分析力学 体系可以不引入“力”的概念，而是从能量的角度描述物体的运动，分析力学分为拉格朗日力学和哈密顿力学，前者以拉格朗日量刻画力学系统，运动方程称为拉格朗日方程，后者以哈密顿量刻画力学系统，运动方程为哈密顿方程。

牛顿力学是矢量力学

我感觉根本就不需要力这个东西，还不如动量，动量守恒是时空性质的反映，由空间平移不变性推出

时间、空间、质量是什么

打住，疯了

张量是什么

在深度学习中，Tensor实际上就是一个多维数组（multidimensional array），其目的是能够创造更高维度的矩阵、向量。

就是一个矩阵的数组